Question

如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，點D，E分別為AC，AB的中點，點F在BC的延長線上，且∠CDF=∠A．求證：四邊形DECF為平行四邊形．

Answer 1

分析：根據DE是三角形的中位線得到DE∥BC，根據CE是直角三角形斜邊上的中線得到CE=AE，得∠A=∠ACE∵∠CDF=∠A∴∠CDF=∠ACE∴DF∥CE．再根據：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形而得證．

解答：證明：∵D，E分別為AC，AB的中點，
∴DE為△ACB的中位線．
∴DE∥BC．
∵CE為Rt△ACB的斜邊上的中線，
∴CE=

1

2

AB=AE．
∴∠A=∠ACE．
又∵∠CDF=∠A，
∴∠CDF=∠ACE．
∴DF∥CE．
又∵DE∥BC，
∴四邊形DECF為平行四邊形．

點評：本題利用了：
①三角形中位線的性質．
②直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半．
③等邊對等角．
④平行四邊形的性質和判定．
⑤內錯角相等，兩直線平行．