Question

【題目】

材料：在學習絕對值時，我們知道了絕對值的幾何含義，如|5﹣3|表示5、3在數軸上對應的兩點之間的距離：|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、3在數軸而對應的兩點之間的距離：|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在數軸上對應的點到距點的距離．

一般地，點A、B在數軸上分別表示有理數x、﹣2、1，那么A到B的距離與A到C的距離之和可表示為 （用含絕對值的式子表示）．

（2）利用數軸探究：

①滿足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是 ．

②|x﹣3|+|x+1|的最小值是 ．

（3）求|x﹣3|+|x+1|+|x﹣2|的最小值以及取最小值時x的值．

Answer 1

【答案】（1）|x+2|+|x﹣1|；（2）①﹣2，4；②4．（3）x=2時，原式=4．

【解析】試題分析：（1）根據兩點間的距離公式，可得答案；

（2）①根據兩點間的距離公式，點在線段上，即可解答；

②為x為有理數，所以要分類討論x﹣1與x+3的正負，再去掉絕對值符號再計算；

（3）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|=（|x﹣3|+|x+1|）+|x﹣2|，根據問題（2）中的探究②可知，要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值只要取﹣1到3之間（包括﹣1、3）的任意一個數，要使|x﹣2|的值最小，x應取2，顯然當x=2時能同時滿足要求，把x=2代入原式計算即可．

解：（1）A到B的距離與A到C的距離之和可表示為|x+2|+|x﹣1|，故答案為：|x+2|+|x﹣1|；

（2）①根據數軸可得，滿足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是﹣2，4，故答案為：﹣2，4；

②：因為x為有理數，就是說x可以為正數，也可以為負數，也可以為0，所以要分情況討論．

當x＜﹣1時，x+1＜0，x﹣3＜0，所以|x+1|+|x﹣3|=﹣（x+1）﹣（x﹣3）=﹣2x+2＞4；

當﹣1≤x＜3時，x+1≥0，x﹣3＜0，所以|x+1|+|x﹣3|=（x+1）﹣（x﹣3）=4；

當x≥3時，x+1＞0，x+3≥0，所以|x﹣3|+|x+1|=（x﹣3）+（x+1）=2x+2≥4；

綜上所述，所以|x﹣1|+|x+3|的最小值是4．

故答案為：4．

（3）由分析可知，

當x=2時能同時滿足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4．