Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，∠ABC=90，AB=6cm，BC=8cm，動點P從點C出發，在線段AC上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點B出發，在BC邊上以每秒4cm的速度向點C勻速運動，動點E從點D出發，在DA邊上以每秒4cm的速度向點A勻速運動，運動時間為t秒(0＜t＜2)．

(1)若△CDE與△ADC相似，求t的值．

(2)連接AQ，BP，CE，若BP⊥CE，求t的值；

(3)當PQ長度取得最小值時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題（1）由題意可得CD2=DEDA，即36=4t×8，解方程即可．

（2）如圖1中，作PM⊥BC于M．由△PMB∽△QBA，得，由CP=5t，CM=4t，PM=3t，可得方程，解方程即可．

（3）根據PQ=，利用二次函數的性質即可解決問題．

試題解析：（1）∵0＜t＜2，

∴點E與點A不重合，

∵△CDE與△ADC相似，

∴∠DCE=∠DAC，

∴，

CD2=DEDA，即36=4t×8，

解得t=s．

（2）如圖1，

∵DE=BQ=4t，AD=BC，AD∥BC

∴AE=CQ，AE∥CQ，

∴四邊形AECQ為平行四邊形，

∴CE∥AQ，過點P做PM⊥CB于點M，

∵BP⊥CE，CE∥AQ，

∴BP⊥AQ，

∴∠ABP+∠PBM=90°，∠BAQ+∠PBA=90°，

∴∠BAQ=∠PBM，∵∠ABQ=∠PMB=90°．

∴△PMB∽△QBA，

∴，

∵CP=5t，CM=4t，PM=3t，

∴，

所以t=s．

（3）如圖2，

在Rt△PMQ中，PQ=，

所以當t=-s時，PQ可以取得最小值．