Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，F是弧AD上的一點，AF，CD的延長線相交于點G．

（1）若⊙O的半徑為3，且∠DFC＝45°，求弦CD的長．

（2）求證：∠AFC＝∠DFG．

Answer 1

【答案】（1）CD＝6；（2）證明見解析.

【解析】

（1）連接OD，OC，先證明△DOE是等腰直角三角形，再由垂徑定理和勾股定理可得DE＝CE＝3，從而得CD的長；

（2）先由垂徑定理可得：，則∠ACD＝∠AFC，根據圓內接四邊形的性質得：∠DFG＝∠ACD，從而得結論．

（1）如圖1，連接OD，OC，

∵直徑AB⊥CD，

∴，DE＝CE，

∴∠DOE=∠DOC=∠DFC=45°，

又∵在Rt△DEO中，OD=，

∴DE＝3，

∴CD＝6；

（2）證明：如圖2，連接AC，

∵直徑AB⊥CD，

∴，

∴∠ACD＝∠AFC，

∵四邊形ACDF內接于⊙O，

∴∠DFG＝∠ACD，

∴∠DFG＝∠AFC．