Question

（2010•南通）如圖，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常數），BC=8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）．連接DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點F，設CE=x，BF=y．
（1）求y關于x的函數關系式；
（2）若m=8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？
（3）若y=，要使△DEF為等腰三角形，m的值應為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用互余關系找角相等，證明△BEF∽△CDE，根據對應邊的比相等求函數關系式；
（2）把m的值代入函數關系式，再求二次函數的最大值；
（3）∵∠DEF=90°，只有當DE=EF時，△DEF為等腰三角形，把條件代入即可．
解答：解：（1）∵EF⊥DE，
∴∠BEF=90°-∠CED=∠CDE，
又∠B=∠C=90°，
∴△BEF∽△CDE，
∴=，即=，解得y=；

（2）由（1）得y=，
將m=8代入，得y=-x²+x=-（x²-8x）=-（x-4）²+2，
所以當x=4時，y取得最大值為2；

（3）∵∠DEF=90°，∴只有當DE=EF時，△DEF為等腰三角形，
∴△BEF≌△CDE，
∴BE=CD=m，
此時m=8-x，解方程=，得x=6，或x=2，
當x=2時，m=6，
當x=6時，m=2．
點評：本題把相似三角形與求二次函數解析式聯系起來，在解題過程中，充分運用相似三角形對應邊的比相等，建立函數關系式．