Question

已知：直線 與x軸和y軸交于點A、C兩點，拋物線經過點A、C，點B是拋物線與x軸的另一個交點．
（1）求拋物線的表達式及點B的坐標；
（2）設點P時直線AC上的一點，且S_ΔABP ：S_ΔBPC =1 ：3，求點P的坐標。
（3）直線與（1）中所求的拋物線交于M、N兩點，問：是否存在a的值，使得∠MON=90°，若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）A（-3,0），C（0,6）  得拋物線為y=-x²-x+6       
∴B（2，0）
（2）過點B作BD⊥AC于D，∵S⊿ABP ：S⊿BPC =1 ：3，
    ∴AP：PC=1：3，由勾股定理得：
   當點P為線段AC上一點，過點P作PH⊥x軸于點H
    ∴， ∴   ∴     ∴    ∴
    ∴P 當點P在CA的延長線上時，同理可得點P的坐標為P
    ∴點P的坐標為或
（3）存在a的值，使得∠MON=90°
   設M，
  由方程組得
 
  
  若∠MON=90°作MH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G     易證Rt⊿MHO∽Rt⊿OGN 
    ∴   ∴
   得