Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且ABCD于點E．連接AC、OC、BC．

（1）求證：∠ACO=∠BCD．
（2）若BE=3，CD=8，求⊙O的直徑．

Answer 1

證明：（1）∵AB為⊙O的直徑，CD是弦，且ABCD于E，
∴CE=ED，
∴BCD=BAC.
∵OA=OC, 
∴OAC=OCA .
∴ACO=BCD.
（2） ∵CD=8，
∴CE=ED=4，
在RtBCE中，.
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠BEC=90°.
∵∠B=∠B，
∴△CBE∽△ABC．
∴．
∴
答：⊙O的直徑為．

解析試題分析：（1）根據垂徑定理得出，根據圓周角定理得出∠BCD=∠CAB，根據等腰三角形的性質得出∠CAB=∠ACO，即可得出答案；（2）根據垂徑定理求出CE，根據勾股定理求出BC，證出△BCE和△BCA相似，即可得出比例式，代入計算即可求出答案．
考點：垂徑定理；勾股定理；等腰三角形性質；相似三角形的性質和判定.
點評：本題主要考查了相似三角形的性質和判定，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形性質，勾股定理等知識點的應用，解答本題的關鍵是培養學生綜合運用定理進行推理和計算的能力．