Question

已知：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以CD為直徑作⊙O，⊙O與邊BC相交于點F，⊙O的切線DE與邊AB相交于點E，且AE=3EB．

（1）求證：△ADE∽△CDF；

（2）當CF：FB=1：2時，求⊙O與▱ABCD的面積之比．

Answer 1

（1）證明：∵CD是⊙O的直徑，

∴∠DFC=90°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A=∠C，AD∥BC，

∴∠ADF=∠DFC=90°，

∵DE為⊙O的切線，

∴DE⊥DC，

∴∠EDC=90°，

∴∠ADF=∠EDC=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

∵∠A=∠C，

∴△ADE∽△CDE；

（2）解：∵CF：FB=1：2，

∴設CF=x，FB=2x，則BC=3x，

∵AE=3EB，

∴設EB=y，則AE=3y，AB=4y，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，

∵△ADE∽△CDF，

∴=，

∴=，

∵x、y均為正數，

∴x=2y，

∴BC=6y，CF=2y，

在Rt△DFC中，∠DFC=90°，

由勾股定理得：DF===2y，

∴⊙O的面積為π•（DC）²=π•DC²=π（4y）²=4πy²，

四邊形ABCD的面積為BC•DF=6y•2y=12y²，

∴⊙O與四邊形ABCD的面積之比為4πy²：12y²=π：3．