Question

如圖，邊長為4的正方形OABC的頂點O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上．動點D在線段BC上移動（不與B，C重合），連接OD，過點D作DE⊥OD，交邊AB于點E，連接OE．
（1）當CD=1時，求點E的坐標；
（2）如果設CD=t，梯形COEB的面積為S，那么是否存在S的最大值？若存在，請求出這個最大值及此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求點E的坐標就是求AE的長（E的橫坐標就是正方形的邊長），要先求出BE的長，可根據相似三角形OCD和DBE得出關于OC，CD，BD，BE的比例關系式，然后根據正方形的邊長和CD的長，來求出BE的長，也就求出AE的長，那么就可得出E的坐標．
（2）求梯形COEB的面積，關鍵是求BE的長，方法同（1）只不過將CD=1換成了CD=t，求出BE的表達式后，那么可根據梯形的面積公式，即可得出關于S，t的二次函數式，然后根據函數的性質即可得出函數的最大值即S的最大值以及對應的t的值．
解答：解：（1）正方形OABC中，
∵ED⊥OD，即∠ODE=90°
∴∠CDO+∠EDB=90°，
即∠COD=90°-∠CDO，而∠EDB=90°-∠CDO，
∴∠COD=∠EDB
又∵∠OCD=∠DBE=90°
∴△CDO∽△BED，
∴，
即，
得BE=，
則：AE=4-
因此點E的坐標為（4，）．

（2）存在S的最大值．
由△CDO∽△BED，
∴，
即，BE=t-t²，S=×4×（4+t-t²）=-（t-2）²+10．
故當t=2時，S有最大值10．
點評：本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質以及二次函數的綜合應用，根據相似三角形得出相關線段成比例來求線段的長或表達式是解題的基本思路．