Question

【題目】如圖，△ABC內接于圓O，且AB＝AC，延長BC到點D，使CD＝CA，連接AD交圓O于點E．

（1）求證：△ABE≌△CDE；

（2）填空：

①當∠ABC的度數為　 　時，四邊形AOCE是菱形．

②若AE＝，AB＝2，則DE的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①60°；②．

【解析】

（1）根據AAS證明兩三角形全等；

（2）①先證明∠AOC＝∠AEC＝120°，∠OAE＝∠OCE＝60°，可得AOCE，由OA＝OC可得結論；

②由△ABE≌△CDE知AE＝CE＝，AB＝CD＝2，，證△DCE∽△DAB得，據此求解即可．

（1）∵AB＝AC，CD＝CA，

∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD，

∵四邊形ABCE是圓內接四邊形，

∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC，

∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，

∴∠CED＝∠AEB，

∴△ABE≌△CDE（AAS）；

（2）①當∠ABC的度數為60°時，四邊形AOCE是菱形；

理由是：連接AO、OC，

∵四邊形ABCE是圓內接四邊形，

∴∠ABC+∠AEC＝180°，

∵∠ABC＝60，

∴∠AEC＝120°＝∠AOC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝30°，

∵AB＝AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵∠ACB＝∠CAD+∠D，

∵AC＝CD，

∴∠CAD＝∠D＝30°，

∴∠ACD=120°,

∵∠ECD=∠BAE=60°+30°=90°，

∴∠ACE＝,120°﹣90°＝30°，

∴∠OAE＝∠OCE＝60°，

∴四邊形AOCE是平行四邊形，

∵OA＝OC，

∴AOCE是菱形；

②∵△ABE≌△CDE，

∴AE＝CE＝，AB＝CD＝2，

∵∠DCE＝∠DAB，∠D＝∠D，

∴△DCE∽△DAB，

∴，即，

解得DE＝，

故答案為：．