Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，將△BCD繞點C順時針旋轉一定角度后，點B的對應點恰好與點A重合，得到△ACE．

（1）求證：AE⊥BD；

（2）若AD＝2，CD＝3，試求四邊形ABCD的對角線BD的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）

【解析】

（1）由旋轉的性質可得AC=BC，∠DBC=∠CAE，即可得∠ACB=90°，根據直角三角形的性質可得AE⊥BD，
（2）由旋轉的性質可得CD=CE=3，BD=AE，∠DCE=∠ACB=90°，由勾股定理可求BD的長．

（1）如圖，設AC與BD的交點為點M，BD與AE的交點為點N，

∵旋轉
∴AC=BC，∠DBC=∠CAE
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠ACB=90°，
∵∠DBC+∠BMC=90°
∴∠AMN+∠CAE=90°
∴∠AND=90°
∴AE⊥BD，
（2）如圖，連接DE，

∵旋轉
∴CD=CE=3，BD=AE，∠DCE=∠ACB=90°
∴DE==3，∠CDE=45°
∵∠ADC=45°
∴∠ADE=90°
∴EA==
∴BD=.