Question

19．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=ax²-4ax（a≠0）的對稱軸交拋物線于A點，交x軸于C點，且AC=OC．
（1）求拋物線解析式；
（2）點P為第一象限內拋物線y=ax²-4ax（a≠0）上一點，若點Q（m，-m-2）是坐標平面內一點，PQ⊥AO，當PQ=7$\sqrt{2}$時，求P點坐標；
（3）在（2）的條件下，過點P作x軸的垂線PD交x軸于點D，點E為x軸上方對稱軸右側拋物線的一個動點，射線AE交PD于點F，若∠CAE=2∠PEF時，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）先求得拋物線的對稱軸方程，然后依據AC=OC可得到點A的坐標，將點A的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值；
（2）先求得點Q所在直線的解析式，然后證明OA∥點Q所在的直線，過點P作PD∥x軸，先證明△PQD為等腰直角三角形，然后可求得DP的長，設點P的坐標為（t，$\frac{1}{2}$t²-2t），可求得點D的坐標，然后依據DP=14列方程求解即可；
（3）設點E的坐標為（t，$\frac{1}{2}$t²-2t）．然后求得直線AE的解析式，然后再求得點F的坐標，接下來，證明PF=EF，然后依據PF=EF列出關于t的方程可求得t的值，從而得到點F的坐標，最后依據兩點間的距離公式可求得AF的值．

解答 解：（1）拋物線的對稱軸為x=-$\frac{-4a}{2a}$=2，
∴C（2，0）．
∴OC=2．
∵AC=OC，
∴AC=2．
∴A（2，-2）．
將點A的坐標代入拋物線的解析式得：4a-8a=-2，解得：-4a=-2，解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2x．

（2）如圖1所示：

設點Q的坐標為（x，y）．
∵Q（m，-m-2），
∴x=m，y=-m-2，
將x=m代入y=-m-2得：y=-x-2，
∴點Q在直線y=-x-2上．
過點P作PD∥x軸，交y=-x-2與點D．
設OA的解析式為y=kx，將點A的坐標代入得：2k=-2，解得k=-1，
∴直線OA的解析式為y=-x，
∴OA∥QD．
∴PQ⊥DQ．
∴△DPQ為等腰直角三角形．
∴DP=$\sqrt{2}$QP=14．
設點P的坐標為（t，$\frac{1}{2}$t²-2t），則點D的縱坐標為$\frac{1}{2}$t²-2t．
將y=$\frac{1}{2}$t²-2t代入y=-x-2得-x-2=$\frac{1}{2}$t²-2t，解得：x=-$\frac{1}{2}$t²+2t-2．
∴點D的縱坐標為-$\frac{1}{2}$t²+2t-2．
∴PD=t-（-$\frac{1}{2}$t²+2t-2）=14，解得：t=6或t=-4（舍去）．
∴點P的坐標為（6，6）．

（3）如圖2所示：

設點E的坐標為（t，$\frac{1}{2}$t²-2t）．設直線AE的解析式為y=kx+b，將點E和點A的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{tk+b=\frac{1}{2}{t}^{2}-2t}\\{2k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{2}$（t-2），b=-t，則直線AE的解析式為y=$\frac{1}{2}$（t-2）x-t．
將x=6代入得：y=2t-6．
∴F（6，2t-6）．
∵AC∥DF，
∴∠ACF=∠AFD．
又∵∠CAE=2∠PEF，
∴∠EFD=2∠PEF．
∴∠PEF=∠EPF．
∴PF=EF，即6-（2t-6）=$\sqrt{（6-x）^{2}+（6-\frac{1}{2}{t}^{2}+2t）^{2}}$，整理得：（6-t）²[（t-2）²-6]=0，
解得：t=$\sqrt{6}$+2或t=-$\sqrt{6}$+2（舍去）或t=0（舍去）．
當t=$\sqrt{6}$+2時，F（6，2$\sqrt{6}$-2）．
∴AF=$\sqrt{（6-2）^{2}+（2\sqrt{6}-2+2）^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，求得點A的坐標是解答問題（1）的關鍵，得到三角形PDQ為等腰直角三角形，然后依據PD=14列出關于t的方程是解答問題（2）的關鍵，證得FP=FE，然后據此列出關于t的方程是解答問題（3）的關鍵．