Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，D、E分別為邊AB、AC的中點，連結DE，點P從點A出發，沿折線AE-ED-DB運動，到點B停止．點P在折線AE-ED上以每秒1個單位的速度運動，在DB上以每秒個單位的速度運動. 過點P作PQ⊥BC于點Q，以PQ為邊在PQ右側作正方形PQMN，使點M落在線段BC上．設點P的運動時間為秒（）.

（1）在整個運動過程中，求正方形PQMN的頂點N落在AB邊上時對應的的值；
（2）連結BE，設正方形PQMN與△BED重疊部分圖形的面積為S，請直接寫出S與之間的函數關系式和相應的自變量的取值范圍；
（3）當正方形PQMN頂點P運動到與點E重合時，將正方形PQMN繞點Q逆時針旋轉60°得正方形
P₁ Q M₁ N₁，問在直線DE與直線AC上是否存在點G和點H，使△GHP₁是等腰直角三角形? 若
存在，請求出EG的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）t="2s" （2） （3）在直線DE與直線AC上存在點G和點H，使△GHP₁是等腰直角三角形，

試題分析：（1）當點P在AE上時， 由△APN∽△ACB得
∴       ∴t=2s         
當點P在ED上時，PN="3" ，∴AE+EP=3+6-3=6  ∴t=6s   
（2） 
（3）在直線DE與直線AC上存在點G和點H，使△GHP₁是等腰直角三角形. 理由如下：
過P₁作P₁S⊥AC于S, P₁R⊥DE于R,

分別是圖1 2 3 4
∵∠P₁QS=60°，P₁Q=3，
∴P₁S=RE=, QS
∴P₁R=SE=.
當∠P₁GH=90°時,
可證△P₁RG≌△GEH，則EG= P₁R= 
當∠P₁HG=90°時, （如圖3、4）
可證△P₁SH≌△HEG，
∴EH=P₁S=，EG=SH,
點評：本題考查相似三角形，全等三角形，函數關系式，解答本題需要掌握相似三角形，全等三角形的判定方法，并會證明