Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB邊上的一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連接DE并延長，與BC的延長線交于點F．

（1）求證：DE＝FE；
（2）若BC＝9，AD＝6，求BF的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）BF=4．

試題分析：1）連接OE，易證OE∥BC；由圓的性質知點O是BD的中點，則OE是△DBF的中位線；最后根據中位線的定義證得DE=FE；
（2）易證△AOE∽△ABC，根據相似三角形的對應邊的比相等即可證得圓的半徑，即可求解．
試題解析：（1）連接OE，BE．

∵∠ACB=90°，AC是⊙O的切線，
∴BC⊥AC，OE⊥AC，
∴OE∥BC；
∵DO=OB，
∴OE是△DBF的中位線，
∴E是DF的中點，
∴DE=EF；
（2）∵OE∥BC，
∴Rt△ABC∽Rt△AOE，
∴；
設⊙O的半徑是r，則有，
解得r=2，∴BD=4；
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED；
由（1）知OE∥BC，
∴∠OED=∠BFD，
∴∠BDF=∠BFD，
∴BF=BD=4．