Question

（2007•長春）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x+b（b＞0）分別交x軸，y軸于A，B兩點，以OA，OB為邊作矩形OACB，D為BC的中點．以M（4，0），N（8，0）為斜邊端點作等腰直角三角形PMN，點P在第一象限，設矩形OACB與△PMN重疊部分的面積為S．
（1）求點P的坐標．
（2）當b值由小到大變化時，求S與b的函數關系式．
（3）若在直線y=-x+b（b＞0）上存在點Q，使∠OQM等于90°，請直接寫出b的取值范圍．
（4）在b值的變化過程中，若△PCD為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的b值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為以M（4，0），N（8，0）為斜邊端點作的等腰直角三角形PMN，點P在第一象限，所以可作PK⊥MN于K，則PK=KM=NM=2，進而可求KO=6，所以P（6，2）；
（2）需分情況討論：當0＜b≤2時，S=0；當2＜b≤3時，重合部分是一個等腰直角三角形，可設AC交PM于H，AM=HA=2b-4，所以S=（2b-4）²；當3＜b＜4時，重合部分是一個四邊形，因此可設AC交PN于H，四邊形的面積=三角形PMN的面積-三角形HAN的面積，因為NA=HA=8-2b，所以S=-2（4-b）²+4，當b≥4時，重合部分就是直角三角形PMN，所以S=4．
（3）因為直線y=-x+b（b＞0）上存在點Q，使∠OQM等于90°，利用90°的圓周角對的弦是直徑，所以以OM為直徑作圓，當直線y=-x+b（b＞0）與此圓相切時，求得的就是b的最大值，而此時b=+1；
（4）因為△PCD為等腰三角形，所以需分情況討論，當PC=PD時，b=4．當PC=CD時，b₁=2（舍），b₂=5．當PD=CD時，b=8±2．
解答：解：（1）作PK⊥MN于K，則PK=KM=NM=2，
∴KO=6，
∴P（6，2）；

（2）①當點A落在線段OM上（可與點M重合）時，如圖（一），此時0＜b≤2，S=0；
②當點A落在線段AK上（可與點K重合）時，如圖（二），此時2＜b≤3，設AC交PM于H，MA=AH=2b-4，
∴S=（2b-4）²=2b²-8b+8，


③當點A落在線段KN上（可與點N重合）時，如圖（三），此時3＜b≤4，設AC交PN于H，AN=AH=8-2b，
∴S=S_△PMN-S_△ANH=4-2（4-b）²=-2b²+16b-28，

④當點A落在線段MN的延長線上時，b＞4，如圖（四），S=4；


（3）以OM為直徑作圓，當直線y=-x+b（b＞0）與圓相切時，b=+1，如圖（五）；
當b≥4時，重合部分是△PMN，S=4
設Q（x，b-x），因為∠OQM=90°，O（0，0），M（4，0）所以OQ²+QM²=OM²，
即[x²+（b-x）²]+[（x-4）²+（b-x）²]=4²，
整理得x²-（2b+8）x+2b²=0，x²-（b+4）x+b²=0，
根據題意這個方程必須有解，也就是判別式△≥0，即（b+4）²-5b²≥0，-b²+2b+4≥0，b²-2b-4≤0，可以解得 1-≤b≤1+，由于b＞0，所以0＜b≤1+．

故0＜b≤+1；

（4）b的值為4，5，．
∵點C、D的坐標分別為（2b，b），（b，b）
當PC=PD時，b=4；
當PC=CD時，b₁=2（P、C、D三點共線，舍去），b₂=5；
當PD=CD時，b=8±2．
點評：本題是一道綜合性極強的題目，解決這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法．