Question

【題目】如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，點E為OB的中點，連接CE并延長交⊙O于點F，點F恰好落在的中點，連接AF并延長與CB的延長線相交于點G，連接OF．

（1）求證：OF=BG；

（2）若AB=4，求DC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）直接利用圓周角定理結合平行線的判定方法得出FO是△ABG的中位線，即可得出答案；

（2）首選得出△FOE≌△CBE（ASA），則BC=FO=AB=2，進而得出AC的長，再利用相似三角形的判定與性質得出DC的長．

試題解析：（1）證明：∵以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，點F恰好落在的中點，∴，∴∠AOF=∠BOF，∵∠ABC=∠ABG=90°，∴∠AOF=∠ABG，∴FO∥BG，∵AO=BO，∴FO是△ABG的中位線，∴FO=BG；

（2）解：在△FOE和△CBE中，∵∠FOE=∠CBE，EO=BE，∠OEF=∠CEB，∴△FOE≌△CBE（ASA），∴BC=FO=AB=2，∴AC==，連接DB，∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ADB=∠ABC，∵∠BCD=∠ACB，∴△BCD∽△ACB，∴，∴，解得：DC=．