Question

閱讀下面材料并填空：
已知點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為|AB|．當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|，當A、B兩點都不在原點時，

（1）如圖2，點A、B都在原點的右邊，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
（2）如圖3，點A、B在原點的左邊，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=a-b=|a-b|；
（3）如圖4，點A、B在原點的兩邊，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（-b）=a-b=|a-b|．
綜上，數軸上A、B兩點的距離|AB|=|a-b|．
利用上述結論，小明同學這樣解決了以下問題：
數軸上表示x和-1的兩點之間的距離是|x+1|，表示x和2的兩點之間的距離是|x-2|，當x的取值范圍為-1≤x≤2時，代數式|x+1|+|x-2|取最小值3．并且他發現：對于代數式|x-a₁|+|x-a₂|+…+|x-a_n|，當n為奇數時，把a₁，a₂，…a_n從小到大排列，x等于最中間的數值時，原式值最小；當n為偶數時，把a₁，a₂，…a_n從小到大排列，x取最中間兩個數值之間的數（包括最中間的兩個數）時，原式值最小．
請你仿照小明的方法解決下面問題（也可以考慮其他方法）：
若y=|1-x|+|2-3x|+|3-4x|+|4-5x|+|5-6x|+|6-7x|，則當x的取值范圍是

3

4

≤x≤

6

7

時，y取最小值

4

3

．

Answer 1

分析：分別進行分段討論：當x≥1時，當

6

7

≤x≤1時，當

5

6

≤x≤

6

7

時，當

4

5

≤x≤

5

6

時，當

3

4

≤x≤

4

5

時，當

2

3

≤x≤

3

4

時，當x≤

2

3

時，分別進行計算即可得到答案．

解答：解：y=|1-x|+|2-3x|+|3-4x|+|4-5x|+|5-6x|+|6-7x|，
分段討論：
1、當x≥1時，
y=x-1+3x-2+4x-3+5x-4+6x-5+7x-6=26x-21，
y≥5，
2、當

6

7

≤x≤1時，
y=-（x-1）+3x-2+4x-3+5x-4+6x-5+7x-6=24x-19，
y≥

11

7

，
3、當

5

6

≤x≤

6

7

時，
y=-（x-1）+3x-2+4x-3+5x-4+6x-5-（7x-6）=10x-7，
y≥

4

3

，
4、當

4

5

≤x≤

5

6

時，
y=-（x-1）+3x-2+4x-3+5x-4-（6x-5）-（7x-6）=-2x+3，
y≥

4

3

，
5、當

3

4

≤x≤

4

5

時，
y=-（x-1）+3x-2+4x-3-（5x-4）-（6x-5）-（7x-6）=-12x+11，
y≥

7

5

，
6、當

2

3

≤x≤

3

4

時，
y=-（x-1）+3x-2-（4x-3）-（5x-4）-（6x-5）-（7x-6）=-20x+17，
y≥2，
7、當x≤

2

3

時，
y=-（x-1）-（3x-2）-（4x-3）-（5x-4）-（6x-5）-（7x-6）=-26x+21，
y≥

11

2

，
因此，當

3

4

≤x≤

6

7

時，y取得最小值，
x=

5

6

，y=

4

3

．

點評：此題主要考查了絕對值，關鍵是掌握數軸上某個數與原點的距離叫做這個數的絕對值．