Question

2．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BC相交于點P，BE與CD相交于點Q，連接PQ．
求證：（1）△ACD≌△BCE．
（2）△PCQ為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）利用SAS易證得△ACD≌△BCE，
（2）ZYZM△ACP≌△BCQ，則可得CP=CQ，又由∠BCD=60°，即可證得：△PCQ為等邊三角形．

解答 證明：（1）∵△ABC和△CDE是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），

（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACP和△BCq中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAP=∠CBQ}\\{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCQ=60°}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，
∴△PCQ為等邊三角形．

點評 此題考查了等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．