Question

（2003•桂林）如圖，AC=6，B是AC上的一點，分別以AB、BC、AC為直徑作半圓，過點B作BD⊥AC，交半圓于點D，設以AB為直徑的圓的圓心為O₁，半徑為r₁；以BC為直徑的圓的圓心為O₂，半徑為r₂．
（1）求證：BD²=4r₁r₂；
（2）以AC所在的直線為x軸，BD所在直線為y軸建立直角坐標系，如果r₁：r₂=1：2，求經過A、D、C三點的拋物線的函數解析式；
（3）如果（2）所確定的拋物線與以AC為直徑的半圓交于另一點E，已知P為上的動點（P與A、E點不重合），連接弦CP交EO₂于F點，設CF=x，CP=y，求y與x的函數解析式，并確定自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）在以AC為直徑的半圓中，連接AD、CD，則∠ADC=90°，根據射影定理即可得出所求的結論．
（2）根據r₁：r₂=1：2，可知AB：BC=1：2．AC=6，因此AB=2，BC=4．根據射影定理可求得OD=2，由此可得出A、C、D三點坐標，用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（3）連接AP，則∠APC=90°，可通過證△CO₂F∽△CAP來得出y，x的函數關系式．
解答：（1）證明：連接AD、DC．
在Rt△ADC中，BD⊥AC
∴DB²=AB•BC
∵AB=2r₁，BC=2r₂，
∴DB²=4r₁r₂

（2）解：∵r₁：r₂=1：2，且2r₁+2r₂=6
∴r₁=1，r₂=2
即DB=2
所以A（-2，0）、C（4，0）、D（0，2）
因此設拋物線為y=a（x+2）（x-4）
解得a=-．
所求拋物線解析式為y=-x²+x+2；

（3）解：由（2）可求拋物線的對稱軸為x=1
∵拋物線與半圓的另一個交點E應為D點關于x=1的對稱點
∴利用對稱性可求得E（2，2）
連接PE、EC
由已知可得O₂（2，0），故EO₂⊥x軸
由垂徑定理可知∠P=∠CEO₂
（或連接AE，利用∠P=∠EAC=∠CEO₂）
∴△ECP∽△FCE
∴
故EC²=FC•CP
設CF=x，CP=y
又在Rt△CEO₂中CE²=EO₂²+O₂C²=（2）²+2²=12
（或利用EC²=CO²•CA=2×6=12）
∴xy=12，y=（2＜x＜2）．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圓周角定理、三角形相似、垂徑定理、圓與圓的位置關系等知識點，綜合性較強．