Question

【題目】如圖，將放在平面直角坐標系中，點，點，點動點從點開始沿邊向點以1個單位長度的速度運動，同一時間，動點從點開始沿邊向點以每秒2個單位長度的速度運動，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動.過點作，交于點，連接，設運動時間為秒(t.

（Ⅰ）用含的代數式表示；

（Ⅱ）①是否存在的值，使四邊形為平行四邊形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

②是否存在的值，使四邊形為菱形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

（Ⅲ）在整個運動過程中，求出線段的中點所經過的路徑長.（直接寫出結果即可）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①存在，；②不存在，四邊形不能為菱形，見解析；（Ⅲ）線段中點所經過的路徑長為.

【解析】

（Ⅰ）根據題意得到OQ=2t，AP=t，求出BQ=8-2t，證明△ADP∽△ABO，根據相似三角形的性質求出PD；
（Ⅱ）①根據平行四邊形的判定方法得出BQ=DP，列出關于t的方程，解方程即可；②先根據勾股定理得出AB的長，再根據平行線分線段成比例定理可得AD=，，根據①中是平行四邊形時t的值求出PD和BD的值即可判定.

（Ⅲ）根據點Q在BO上運動，點P在AO上運動，得出線段PQ的中點M的運動路徑為一條線段，確定點Q分別與點O、點B重合時PQ的中點M的位置，再進一步求解可得．

解：（I）∵點，點，

∴， ，

且由題意， ， ，

∵，

∴，

又，， ，

∴

∴.

（Ⅱ）①∵，若，

∴則四邊形是平行四邊形，

即，解得：.

∴當時，∴四邊形為平行四邊形.

②不存在，理由如下：

∵， ，

∴在中， ，

∵，∴，，，

∴當，四邊形為平行四邊形時，

，

∴，

∴四邊形PDBC不能為菱形.

（Ⅲ））∵點Q在BO上運動，點P在AO上運動，

∴線段PQ的中點M的運動路徑為一條線段，

∵當Q在點O時，點P在點A處，
∵點M為PQ的中點

∴OM=PQ=，
∵當Q在點B時，AP=4，則OP=2

此時，連接PQ，取PQ的中點，過作OA于E，

∴OE=1，
∴EM=2，
∵AO⊥BO、E⊥OA，
∴E∥BO，
∵為PQ的中點，
∴E為△BOP的中位線，
∴E=BO=4，
點M的運動路徑為M==2．