Question

【題目】如圖，直線，與和分別相切于點和點．點和點分別是和上的動點，沿和平移．的半徑為，．下列結論錯誤的是（ ）

A. B. 若與相切，則

C. 若，則與相切 D. 和的距離為

Answer 1

【答案】B

【解析】

連結OA、OB，根據切線的性質和l1∥l2得到AB為⊙O的直徑，則l1和l2的距離為2；當MN與⊙O相切，連結OM，ON，當MN在AB左側時，根據切線長定理得∠AMO=∠AMN=30°，在Rt△AMO中，利用正切的定義可計算出AM=，在Rt△OBN中，由于∠ONB=∠BNM=60°，可計算出BN=，當MN在AB右側時，AM=，所以AM的長為或；當∠MON=90°時，作OE⊥MN于E，延長NO交l1于F，易證得Rt△OAF≌Rt△OBN，則OF=ON，于是可判斷MO垂直平分NF，所以OM平分∠NMF，根據角平分線的性質得OE=OA，然后根據切線的判定定理得到MN為⊙O的切線．

連結OA、OB，如圖1，

∵⊙O與l1和l2分別相切于點A和點B，

∴OA⊥l1，OB⊥l2，

∵l1∥l2，

∴點A、O、B共線，

∴AB為⊙O的直徑，

∴l1和l2的距離為2；故C正確，

作NH⊥AM于H，如圖1，

則NH=AB=2，

∵∠AMN=60°，

∴sin60°=，

∴MN=；故A正確，

當MN與⊙O相切，如圖2，連結OM，ON，

當MN在AB左側時，∠AMO=∠AMN=×60°=30°，

在Rt△AMO中，tan∠AMO=，即AM=，

在Rt△OBN中，∠ONB=∠BNM=60°，tan∠ONB=，即BN=，

當MN在AB右側時，AM=，

∴AM的長為或；故B錯誤，

當∠MON=90°時，作OE⊥MN于E，延長NO交l1于F，如圖2，

∵OA=OB，

∴Rt△OAF≌Rt△OBN，

∴OF=ON，

∴MO垂直平分NF，

∴OM平分∠NMF，

∴OE=OA，

∴MN為⊙O的切線．故D正確．

故選B．