Question

如圖所示．P是矩形ABCD內(nèi)的一點，四邊形BCPQ是平行四邊形，A′，B′，C′，D′分別是AP，PB，BQ，QA的中點．求證：A′C′=B′D′．

Answer 1

分析：分析由于A′，B′，C′，D′分別是四邊形APBQ的四條邊AP，PB，BQ，QA的中點，有經(jīng)驗的同學(xué)知道A′B′C′D′是平行四邊形，A′C′與B′D′則是它的對角線，從而四邊形A′B′C′D′應(yīng)該是矩形．利用ABCD是矩形的條件，不難證明這一點．

解答：證明：連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，
∵A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，四條線段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位線．
∴A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，
∴四邊形A′B′C′D′是平行四邊形．
由于四邊形ABCD是矩形，四邊形PCBQ是平行四邊形，
∴AB⊥BC，BC∥PQ．
從而AB⊥PQ，
∴A′B′⊥B′C′，
∴四邊形A′B′C′D′是矩形，
∴A′C′=B′D′．

點評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，在解題過程中，人們的經(jīng)驗常可起到引發(fā)聯(lián)想、開拓思路、擴(kuò)大已知的作用．如在本題的分析中利用“四邊形四邊中點連線是平行四邊形”這個經(jīng)驗，對尋求思路起了不小的作用．因此注意歸納總結(jié)，積累經(jīng)驗，對提高分析問題和解決問題的能力是很有益處的．