Question

如圖所示，OACB是矩形，C（a，b），點D為BC中點，反比例函數y=

4

x

的圖象經過點D且交AC于點E．
（1）求證：△AOE與△BOD的面積相等；
（2）求證：點E是AC的中點；
（3）當OE⊥DE時，試求OB²-OA²的值．

Answer 1

分析：（1）利用反比例函數圖象上點的坐標性質得出△AOE與△BOD的面積即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，進而得出E點是AC的中點；
（3）利用OE⊥DE得出△AOE∽△CED，進而得出BO與AO的關系，進而利用反比例函數圖象上點的坐標性質得出即可．

解答：（1）證明：∵E，D點都在反比例函數圖象上，
∴E，D橫縱坐標乘積相等，
∵△AOE為

1

2

×AO×AE=

1

2

xy=2，△BOD的面積為：

1

2

×BO×DB=

1

2

xy=2，
∴△AOE與△BOD的面積相等；

（2）證明：∵點D為BC中點，△AOE與△BOD的面積相等，即

1

2

×AO×AE=

1

2

×BO×DB，
∴

1

2

×2BD×AE=

1

2

×BO×DB，
∴2AE=BO，
∴點E是AC的中點；

（3）解：∵OE⊥DE，
∴∠CED+∠AEO=90°，
又∵∠AOE+∠AEC=90°，
∴∠AEO∠CDE，
∵∠OAE=∠C，
∴△AOE∽△CED，
∴

AO

EC

=

AE

CD

，
∵AE=EC，CD=BD
∴AE²=AO×CD=AO×

1

2

AO=

1

2

AO²，
∴（

BO

2

）²=

1

2

AO²，
即BO²=2AO²，則BO=

2

AO，
∴BO×BD=

2

AO×

1

2

AO=

2

2

AO²=k=4，
∴OB²-OA²=AO²=4÷

2

2

=4

2

．

點評：此題主要考查了反比例函數綜合應用以及相似三角形的性質和反比例函數圖象上點的坐標性質等知識，根據數形結合和得出AO與BO的關系是解題關鍵．