Question

（1）如圖1，點M是正方形ABCD內一定點，請你在圖1中過點M作一條直線，使它將矩形ABCD分成相等的兩部分．（只需保留作圖痕跡）
（2）如圖2，在平面直角坐標系中，直角梯形OBCD是我市城東新區開發用地示意圖，其中DC∥OB，OB=8，BC=6，CD=6．新區管委會（其占地面積不計）設在點P（5，3）處，為了方便駐區單位，準備過點P修一條筆直的道路（路的寬度不計），并且使這條路所在的直線L將直角梯形OBCD分成面積相等的兩部分，你認為直線L是否存在？若存在，求出直線L的表達式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：

分析：（1）連接AC，BD中心點位O，過O點的直線分矩形為相等的兩部分．
（2）假如存在，過點D的直線只要作DA⊥OB與點A，表示出H點的坐標，把x=2代入直線PH的解析式y=kx+3-5k，得y=3-k，根據PH將△DOA面積平分，求出k和b即可得出．

解答：解：（1）如圖②連接AC、BD交于O則O為正方形對稱中心．
作直線MO，直線MO即為所求．

（2）如圖③存在直線l，
過點D的直線作DA⊥OB于點A，
則點P（5，3）為矩形ABCD的對稱中心，
∴過點P的直線只要平分△DOA的面積即可，
易知，在OD邊上必存在點H使得PH將△DOA面積平分．
從而，直線PH平分梯形OBCD的面積，即直線PH為所求直線l
設直線PH的表達式為y=kx+b且點P（5，3），
∴3=5k+b即b=3-5k，
∴y=kx+3-5k，
∵直線OD的表達式為y=3x，
∴

y=kx+3-5k y=3x

，
解之

x= 3-5k 3-k y= 9-15k 3-k

．
∴點H的坐標為（x=

3-5k

3-k

，y=

9-15k

3-k

）
把x=2代入直線PH的解析式y=kx+3-5k，得y=3-k，
∴PH與線段AD的交點F（2，3-k），
∴0＜3-k＜6，
∴-3＜k＜3．
∴S_△DHF=

1

2

[6-（3-k）•（2-

3-5k

3-k

）=

1

2

×

1

2

×2×6，
∴解得：k=-3+2

3

．（k=-3-2

3

舍去）
∴b=3-5k=18-10

3

，
∴直線l的表達式為：y=（-3+2

3

）x+18-10

3

．

點評：本題主要考查了矩形的性質以及待定系數法求一次函數解析式和三角形面積求法等知識，用k表示出F點坐標是解題關鍵．