Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°， 將Rt△ABC繞點C按順時針方向旋轉60°得到△DEC,點E在AC上，再將Rt△ABC沿著AB所在的直線翻轉180°得到△ABF.且使C、B、F三點在一條直線上，連接AD。

（1）求證：四邊形AFCD是菱形；

（2）連接BE并延長交AD于G，連接CG,請問：四邊形ABCG是什么特殊平行四邊形？為什么？

Answer 1

（1）證明見解析；（2）四邊形ABCG是矩形．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）需證明△ACD是等邊三角形、△AFC是等邊三角形，即可證明四邊形AFCD是菱形．

（2）可先證四邊形ABCG是平行四邊形，再由∠ABC=90°，可證四邊形ABCG是矩形．

試題解析：（1）證明：Rt△DEC是由Rt△ABC繞C點旋轉60°得到，

∴AC=DC，∠ACB=∠ACD=60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴AD=DC=AC，

又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直線翻轉180°得到，

∴AC=AF，∠ABF=∠ABC=90°，

∵∠ACB=∠ACD=60°，

∴△AFC是等邊三角形，

∴AF=FC=AC，

∴AD=DC=FC=AF，

∴四邊形AFCD是菱形．

（2）四邊形ABCG是矩形．

證明：由（1）可知：△ACD，△AFC是等邊三角形，△ACB≌△AFB，

∴∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°，且△ABC為直角三角形，

∴BC=AC，

∵EC=CB，

∴EC=AC，

∴E為AC中點，

∴DE⊥AC，

∴AE=EC，

∵AG∥BC，

∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，

∴△AEG≌△CEB，

∴AG=BC，

∴四邊形ABCG是平行四邊形，

∵∠ABC=90°，

∴四邊形ABCG是矩形．

考點：1.旋轉的性質；2.全等三角形的判定與性質；3.等邊三角形的判定；4.平行四邊形的判定；5.菱形的判定；6.矩形的判定．