Question

如圖，在等腰△ABC中，點D、E分別是兩腰AC、BC上的點，連接AE、BD相交于點O，∠1=∠2．
（1）求證：OD=OE；
（2）求證：四邊形ABED是等腰梯形；
（3）若AB=3DE，△DCE的面積為2，求四邊形ABED的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，由△ABC是等腰三角形，得到∠BAD=∠ABE，然后利用已知條件證明△ABD≌△BAE，由全等三角形的性質得到BD=AE，又由∠1=∠2得到OA=OB，由此即可證明OD=OE；
（2）由（1）的OD=OE根據等腰三角形的性質得到∠OED=∠ODE，根據三角形的內角和得到∠OED=（180°-∠DOE），∠1=（180°-∠AOB），而∠DOE=∠AOB，所以得到∠1=∠OED，然后利用平行線的判定得到DE∥AB，最后證明AD與BE不平行，這樣就可以證明梯形ABED是等腰梯形；
（3）由（2）可知DE∥AB，然后得到△DCE∽△ACB，接著利用相似三角形的性質即可求出S_△ACB，然后就可以求出S_{四邊形ABED}．
解答：（1）證明：如圖，∵△ABC是等腰三角形，
∴AC=BC，
∴∠BAD=∠ABE，
又∵AB=BA、∠2=∠1，
∴△ABD≌△BAE（ASA），
∴BD=AE，
又∵∠1=∠2，
∴OA=OB，
∴BD-OB=AE-OA，
即：OD=OE；

（2）證明：由（1）知：OD=OE，∴∠OED=∠ODE，
∴∠OED=（180°-∠DOE），
同理：∠1=（180°-∠AOB），
又∵∠DOE=∠AOB，
∴∠1=∠OED，
∴DE∥AB，
∵AD、BE是等腰三角形兩腰所在的線段，
∴AD與BE不平行，
∴四邊形ABED是梯形，
又∵由（1）知，△ABD≌△BAE，
∴AD=BE，
∴梯形ABED是等腰梯形；

（3）解：由（2）可知：DE∥AB，
∴∠CED=∠CBA，∠CDE=∠CAB，
∴△DCE∽△ACB（AA），
∴=（）²，
即=（）²=．
∴S_△ACB=18，
∴S_{四邊形ABED}=S_△ACB-S_△DCE=18-2=16．
點評：此題考查了全等三角形的性質與判定、相似三角形的性質與判定、等腰三角形的性質與判定及等腰梯形的判定，有一定的綜合性，要求學生熟練掌握相關的基礎知識才能很好解決這類問題．