Question

如圖，A、B是兩座現代化城市，C是一個古城遺址，C城在A城的北偏東30°，在B城的北偏西45°，且C城與A城相距120千米，B城在A城的正東方向，以C為圓心，以60千米為半徑的圓形區域內有古跡和地下文物，現要在A、B兩城市修建一條筆直的高速公路．
（1）請你計算公路的長度（保留根號）；
（2）請你分析這條公路有沒有可能對文物古跡造成損毀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意知△ABC中，∠CAB=60°，∠ABC=45°，AC=120，求AB長；
（2）根據“化斜為直”的原則，作CD⊥AB于D點，通過解直角三角形求解；比較CD與60的大小得出結論．

解答：解：作CD⊥AB于D點．
（1）在Rt△ACD中，
CD=AC•sin60°=120×

3

2

=60

3

，AD=AC•cos60°=120×

1

2

=60，
在Rt△BCD中，BD=CD•tan45°=60

3

×1=60

3

，
所以AB=AD+DB=60+60

3

（km）；

（2）不可能．因為CD=60

3

＞60，所以不可能對文物古跡造成損毀．

點評：“化斜為直”是解三角形的常規思路，需作垂線（高），原則上不破壞特殊角（30°、45°、60°）．