Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm．點P從B出發沿BA向A運動，速度為每秒1cm，點E是點B以P為對稱中心的對稱點，點P運動的同時，點Q從A出發沿AC向C運動，速度為每秒2cm，當點Q到達頂點C時，P，Q同時停止運動，設P，Q兩點運動時間為t秒．

(1)當t為何值時，PQ∥BC？

(2)設四邊形PQCB的面積為y，求y關于t的函數關系式；

(3)四邊形PQCB面積能否是△ABC面積的？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由；

(4)當t為何值時，△AEQ為等腰三角形？（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】(1)t＝；(2)y＝t2﹣8t+24；(3)四邊形PQCB面積能是△ABC面積的，此時t的值為5﹣；(4)當t為秒秒秒時，△AEQ為等腰三角形．

【解析】

試題（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10-t，然后由PQ∥BC，根據平行線分線段成比例定理得出，列出比例式，求解即可；

（2）根據S四邊形PQCB=S△ACB-S△APQ=ACBC-APAQsinA，即可得出y關于t的函數關系式；

（3）根據四邊形PQCB面積是△ABC面積的，列出方程t2-8t+24=×24，解方程即可；

（4）△AEQ為等腰三角形時，分三種情況討論：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一種情況都可以列出關于t的方程，解方程即可．

試題解析：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，

∴AB=10cm．

∵BP=t，AQ=2t，

∴AP=AB-BP=10-t．

∵PQ∥BC，

∴，

∴，

解得t=；

（2）∵S四邊形PQCB=S△ACB-S△APQ=ACBC-APAQsinA

∴y=×6×8-×（10-2t）2t=24-t（10-2t）=t2-8t+24，

即y關于t的函數關系式為y=t2-8t+24；

（3）四邊形PQCB面積能是△ABC面積的，理由如下：

由題意，得

t2-8t+24=×24，

整理，得t2-10t+12=0，

解得t1=5-，t2=5+（不合題意舍去）．

故四邊形PQCB面積能是△ABC面積的，此時t的值為5-；

（4）△AEQ為等腰三角形時，分三種情況討論：

①如果AE=AQ，那么10-2t=2t，解得t=；

②如果EA=EQ，那么（10-2t）×=t，解得t=；

③如果QA=QE，那么2t×=5-t，解得t=．

故當t為秒、秒、秒時，△AEQ為等腰三角形．