Question

25、若n為自然數，n+3與n+7都是質數，求n除以3所得的余數．

Answer 1

分析：因為求n除以3所得的余數，所以設n=3k（k是一個非負整數），然后將其代入n+3和n+7，并由n+3與n+7都是質數對其進行論證．

解答：解：∵n除以3所得的余數只可能為0、1、2三種．
①若余數為0，即n=3k（k是一個非負整數，下同），則n+3=3k+3=3（k+1），所以3|n+3，又3≠n+3，故n+3不是質數，與題設矛盾．
②若余數為2，且n=3k+2，則n+7=3k+2+7=3（k+3），故3|n+7，n+7不是質數；與題設矛盾．
所以n除以3所得的余數只能為1．

點評：本題考查了關于質數與合數及帶余數除法的題目．一個整數除以m后，余數可能為0，1，…，m-1，共m個，將整數按除以m所得的余數分類，可以分成m類．如m=2時，余數只能為0與1，因此可以分為兩類，一類是除以2余數為0的整數，即偶數；另一類是除以2余數為1的整數，即奇數．同樣，m=3時，就可將整數分為三類，即除以3余數分別為0、1、2這樣的三類．通過余數是否相同來分類是一種重要的思想方法，有著廣泛的應用．