Question

若k為自然數，且關于x的一元二次方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0有兩個不相等的正整數根，求k的值和方程的根．

Answer 1

分析：首先根據已知條件可得k²-1≠0，進而得到k≠±1，然后根據根的判別式△＞0，可得k≠3；再利用求根公式用含k的式子表示x，因為，方程有兩個不相等的正整數根，所以分情況討論k的值即可．

解答：解：∵k²-1≠0，
∴k≠±1．
∵△=36（3k-1）²-4（k²-1）×72＞0，
∴k≠3，
用求根公式可得：x₁=

6

k-1

，x₂=

12

k+1

，
∵x₁，x₂是正整數，
∴k-1=1，2，3，6，k+1=1，2，3，4，6，12，
解得k=2．
這時x₁=6，x₂=4．

點評：此題主要考查了一元二次方程的二次項系數不能為0，根的判別式和求方程的整數解的綜合運用，還用到了數學中的分類討論思想，綜合性較強．