Question

如圖，已知拋物線y=ax²﹣5ax+2（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于點A（1，0）和點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求直線BC的解析式；

（3）若點N是拋物線上的動點，過點N作NH⊥x軸，垂足為H，以B，N，H為頂點的三角形是否能夠與△OBC相似？若能，請求出所有符合條件的點N的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點A（1，0）在拋物線y=ax²﹣5ax+2（a≠0）上，

∴a﹣5a+2=0，

∴a=，

∴拋物線的解析式為y=x²﹣x+2；

（2）拋物線的對稱軸為直線x=，

∴點B（4，0），C（0，2），

設直線BC的解析式為y=kx+b，

∴把B、C兩點坐標代入線BC的解析式為y=kx+b，得

，

解得k=﹣，b=2，

∴直線BC的解析式y=﹣x+2；

（3）設N（x，x²﹣x+2），分兩種情況討論：

①當△OBC∽△HNB時，如圖1，

=，

即=，

解得x₁=5，x₂=4（不合題意，舍去），

∴點N坐標（5，2）；

②當△OBC∽△HBN時，如圖2，

=，

即=﹣，

解得x₁=2，x₂=4（不合題意舍去），

∴點N坐標（2，﹣1）；

綜上所述點N坐標（5，2）或（2，﹣1）．