Question

【題目】如圖①，四邊形和四邊形都是正方形，且，，正方形固定，將正方形繞點順時針旋轉角()．

（1）如圖②，連接、，相交于點，請判斷和是否相等？并說明理由；

（2）如圖②，連接，在旋轉過程中，當為直角三角形時，請直接寫出旋轉角的度數；

（3）如圖③，點為邊的中點，連接、、，在正方形的旋轉過程中，的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）相等，理由見解析；（2）和；（3）存在，最大值為．

【解析】

（1）由四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形知BC＝CD，CF＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，從而得∠BCG＝∠DCE，證△BCG≌△DCE得BG＝DE；
（2）分兩種情況求解可得；
（3）由，知當點P到BD的距離最遠時，△BDP的面積最大，作PH⊥BD，連接CH、CP，則PH≤CH＋CP，當P、C、H三點共線時，PH最大，此時△BDP的面積最大，據此求解可得．

（1）證明：相等

∵四邊形和四邊形都是正方形，

∴，，，

∴，即，

∴；

∴BG=DE

（2）如圖1，∠ACG=90°時，旋轉角；

如圖2，當∠ACG=90°時，旋轉角；

綜上所述，旋轉角的度數為45°或225°；

（3）存在

∵如圖3，在正方形中，，

∴，

∴當點到的距離最遠時，的面積最大，

作，連接，，則

當三點共線時，最大，此時的面積最大．

∵，點為的中點，

∴

此時，，

∴．