Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，BC=4AD．AB為⊙O的直徑，OA=2，CD與⊙O相切于點E，求CD的長．

Answer 1

考點：切線的性質,勾股定理,梯形

專題：計算題

分析：由∠A=∠B=90°，利用切線的性質得到AD與BC都與圓O相切，再由CD與圓相切，利用切線長定理得到AD=DE，CE=CB，可得出CD=DE+CE=AD+BC，設AD=x，得到BC=4AD=4x，確定出CD為5x，作出梯形的高DF，如圖所示，在直角三角形CDF中，表示出三角形三邊，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出CD的長．

解答：解：∵AB為⊙O的直徑，∠A=∠B=90°，
∴AD、BC均為⊙O的切線，
又CD與⊙O相切于點E，
∴DE=DA，CE=CB，
∴CD=AD+BC，
設AD=x，則BC=4AD=4x，CD=5x，
如圖所示，作梯形的高DF，
在Rt△CDF中，DF=AB=2OA=4，CF=CB-BF=CB-AD=3x，CD=5x，
由勾股定理得：DF²+FC²=CD²，得4²+（3x）²=（5x）²，
解得：x₁=1，x₂=-1（舍去），
∴CD=5x=5．

點評：此題考查了切線的性質，切線長定理，勾股定理，以及方程的思想，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．