Question

如圖，△AOC在平面直角坐標系中，∠AOC=90°，且O為坐標原點，點A、C分別在坐標軸上，AO=4，OC=3，將△AOC繞點C按逆時針方向旋轉，旋轉后的三角形記為△CA′O′．
（1）求AC的長；
（2）當CA邊落在y軸上（其中旋轉角為銳角）時，一條拋物線經過A、C兩點且與直線AA′相交于x軸下方一點D，如果S_△AOD=9，求這條拋物線的解析式；
（3）繼續旋轉△CA′O′，當以CA′為直徑的⊙P與（2）中拋物線的對稱軸相切時，圓心P是否在拋物線上，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先根據已知條件∠AOC=90°，AO=4，OC=3，從而求出結果．
（2）本題需先根據旋轉得出A′C、AC的值，從而得出A′O的結果，即可得出A，C，A′的坐標，求出直線AA′的解析式，再根據拋物線與直線AA′相交于點D，根據S_△AOD=9，得出D的坐標，即可得出拋物線的解析式．
（3）本題需先根據（2）的解析式得出對稱軸為x的值，在分兩種情況進行討論，情況1：過點P向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點E，交y軸于點F，點P到對稱軸的距離PE等于⊙P的半徑，即可求出PE、PF、CF的值，得出P點坐標，從而判斷出P點的位置；情況2：如圖③，過點P′向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點E′，交軸于點F′，同樣的道理求出P′的坐標，從而判斷出點P′的位置．
解答：解：（1）在Rt△AOC中，∵AO=4，OC=3，
∴AC=5；

（2）由旋轉可知A′C=AC=5．
∴A′O=A′C-OC=2．
∴A（-4，0），C（0，3），A′（0，-2）．
可求得直線AA′的解析式為．
拋物線與直線AA′交于點D，設點D（x，y）
∵S_△AOD=9，
∴，
解得．
將代入，得x=5．
∴D（5，），
∵拋物線過A、C、D三點，
∴可求得拋物線的解析式為；

（3）由得對稱軸為．
∵⊙P與拋物線的對稱軸相切，可有兩種情況：
情況1：如圖②，過點P向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點E，交y軸于點F，點P到對稱軸的距離PE等于⊙P的半徑，
即PE=，PF=2．CF=．
∴FO=CO-CF=，
∴P（2，）．
∵點P的坐標滿足，
∴點P在拋物線上．
情況2：如圖③，過點P′向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點E′，交軸于點F′．
同理可求得點P′（2，）．
∵點P′坐標不滿足拋物線，
∴此點P′不在拋物線上．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合，在解題時要結合圖形畫出輔助線是解題的關鍵，其中涉及到知識點是拋物線的頂點公式等，在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．