Question

如圖，△AOC在平面直角坐標系中，∠AOC=90°，且O為坐標原點，點A、C分別在坐標軸上，AO=4，OC=3，將△AOC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的三角形記為△CA′O′。

（1）當CA邊落在y軸上（其中旋轉(zhuǎn)角為銳角）時，一條拋物線經(jīng)過A、C兩點且與直線AA′相交于x軸下方一點D，如果S_△AOD=9，求這條拋物線的解析式；
（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△CA′O′，當以CA′為直徑的⊙P與（1）中拋物線的對稱軸相切時，圓心P是否在拋物線上，請說明理由。

Answer 1

解：（1）在Rt△AOC中，∵AO=4，OC=3， ∴AC=5， 由旋轉(zhuǎn)可知：A'C=AC=5， ∴A'O=A'C-OC=2， ∴A（-4，0），C（0，3），A'（0，-2）， 可求得直線AA'的解析式為y=-x-2， 拋物線與直線AA'交于點D，設(shè)點D（x，y）， ∵， ∴，解得y=-， 將y=-代入y=-x-2，得x=5， ∴D（5，-）， ∵拋物線過A、C、D三點， ∴可求得拋物線的解析式為；
（2）由得對稱軸為x=-， ∵⊙P與拋物線的對稱軸相切，可有兩種情況： 情況1：如圖②，過點P向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點E， 交y軸于點F，點P到對稱軸的距離PE等于⊙P的半徑，即PE=，PF=2，CF==， ∴FO=CO-CF=， ∴P（2，）， ∵點P的坐標滿足， ∴點P在拋物線上； 情況2：如圖③，過點P′向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點E'，交軸于點F'， 同理可求得點P'（2，）， ∵點坐標P'不滿足拋物線， ∴此點P′不在拋物線上。