Question

（2008•朝陽區二模）如圖，△AOC在平面直角坐標系中，∠AOC=90°，且O為坐標原點，點A、C分別在坐標軸上，AO=4，OC=3，將△AOC繞點C按逆時針方向旋轉，旋轉后的三角形記為△CA′O′．
（1）當CA邊落在y軸上（其中旋轉角為銳角）時，一條拋物線經過A、C兩點且與直線AA′相交于x軸下方一點D，如果S_△AOD=9，求這條拋物線的解析式；
（2）繼續旋轉△CA′O′，當以CA′為直徑的⊙P與（1）中拋物線的對稱軸相切時，圓心P是否在拋物線上，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件先求出直線AA′的解析式，再求出D點的坐標，即可求出拋物線的解析式；
（2）由y=-

1

4

x2-

1

4

x+3得對稱軸為x=-

1

2

．由⊙P與拋物線的對稱軸相切，可有兩種情況：情況1：如圖②，過點P向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點E，交y軸于點F，點P到對稱軸的距離PE等于⊙P的半徑，求出點P的坐標即可判斷；情況2：如圖③，過點P′向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點E′，交軸于點F′，求出點P′的坐標即可證明；

解答：解：（1）在Rt△AOC中，∵AO=4，OC=3，∴AC=5．
由旋轉可知A′C=AC=5．
∴A′O=A′C-OC=2．
∴A（-4，0），C（0，3），A′（0，-2）．
可求得直線AA′的解析式為y=-

1

2

x-2．
拋物線與直線AA′交于點D，設點D（x，y），
∵S_△AOD=9，
∴

1

2

OA•(-y)=9．解得y=-

9

2

．
將y=-

9

2

代入y=-

1

2

x-2，得x=5．
∴D（5，-

9

2

）．
∵拋物線過A、C、D三點，
∴可求得拋物線的解析式為y=-

1

4

x2-

1

4

x+3；

（2）由y=-

1

4

x2-

1

4

x+3得對稱軸為x=-

1

2

．
∵⊙P與拋物線的對稱軸相切，可有兩種情況：
情況1：如圖②，過點P向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點E，交y軸于點F，點P到對稱軸的距離PE等于⊙P的半徑，
即PE=

5

2

，PF=2．CF=

PC2-PF2

 =

3

2

．
∴FO=CO-CF=

3

2

．
∴P（2，

3

2

）．
∵點P的坐標滿足y=-

1

4

x2-

1

4

x+3，
∴點P在拋物線上．

情況2：如圖③，過點P′向拋物線的對稱軸作垂線，交對稱軸于點E′，交軸于點F'．
同理可求得點P′(2，

9

2

)．
∵點P'坐標不滿足拋物線y=-

1

4

x2-

1

4

x+3，
∴此點P′不在拋物線上．

點評：本題考查了二次函數綜合題，難度較大，關鍵是注意由⊙P與拋物線的對稱軸相切，可有兩種情況，需要分情況討論．