Question

（2008•朝陽區二模）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD．
（1）如圖①，連接AC，如果三角形ADC的面積為6，求梯形ABCD的面積；
（2）如圖②，E是腰AB上一點，連接CE，設△BCE和四邊形AECD的面積分別為S₁和S₂，且2S₁=3S₂，求的值；
（3）如圖③，AB=CD，如果CE⊥AB于點E，且BE=3AE，求∠B的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△ADC與△ABC等高，且BC=3AD，可得△ABC的面積是△ADC面積的三倍，所以可求得△ADC的面積，即可求得梯形ABCD的面積；
（2）可利用面積法求解，因為如果三角形的高相等，則其面積的比等于其底的比，所以可求得AE與BE的比；
（3）首先延長BA與CD，然后根據面積的關系求得△MBC是等邊三角形，即可得∠B為60°．
解答：解：（1）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，又△ADC與△ABC等高，且BC=3AD，
∴S_△ABC=3S_△ADC，
∵S_△ADC=6，
∴S_梯形ABCD=S_△ABC+S_△ACD=4S_△ADC=24．

（2）方法1：連接AC，如圖①，設△AEC的面積為S₃，則△ACD的面積為S₂-S₃，

由（1）和已知可得
解得：S₁=4S₃．
∴．
∵△AEC與△BEC等高，
∴．
方法2：延長BA、CD相交于點F，如圖②
∵AD∥BC，
∴△FAD∽△FBC，
∴，
設S_△FAD=S₃=a，則S_△FBC=9a，S₁+S₂=8a，
又∵2S₁=3S₂，
∴a，a，S₃=a．
∵△EFC與△CEB等高，
∴．
設FE=7k，則BE=8k，FB=15k，
∴FA=FB=5k．
∴AE=7k-5k=2k．
∴．

（3）延長BA、CD相交于點M．如圖③，
∵AD∥BC，
∴△MAD∽△MBC，
∴．
∴MB=3MA．設MA=2x，則MB=6x．
∴AB=4x．
∵BE=3AE，
∴BE=3x，AE=x．
∴BE=EM=3x，E為MB的中點．
又∵CE⊥AB，
∴CB=MC．
又∵MB=MC，
∴△MBC為等邊三角形．
∴∠B=60°．
點評：此題考查了如果三角形的高相等，則面積比等于其底邊的比．解此題的關鍵是準確的作出輔助線與數形結合思想的應用．