Question

問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是 ；

探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；

實際應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向行駛60海里到達E處，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向行駛100海里到達F處，此時指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇之間的夾角（∠EOF）為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．

Answer 1

問題背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．實際應用：此時兩艦艇之間的距離是160海里．

【解析】

試題分析：問題背景：根據全等三角形對應邊相等解答；

探索延伸：延長FD到G，使DG=BE，連接AG，根據同角的補角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△GAF全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=GF，然后求解即可；

實際應用：連接EF，延長AE、BF相交于點C，然后求出∠EAF=∠AOB，判斷出符合探索延伸的條件，再根據探索延伸的結論解答即可．

試題解析：問題背景：EF=BE+DF；

探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．

證明如下：如圖，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，

∴∠B=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△GAF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；

實際應用：如圖，連接EF，延長AE、BF相交于點C，

∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，

∠EOF=70°，

∴∠EAF=∠AOB，

又∵OA=OB，

∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，

∴符合探索延伸中的條件，

∴結論EF=AE+BF成立，

即EF=60+100=160海里．

答：此時兩艦艇之間的距離是160海里．

考點：1.全等三角形的應用；2.方向角．