Question

（本題滿分8分）如圖①，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上．

（1）求證：BE=CE；

（2）若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，如圖②，∠BAC=45°，原題設其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）根據等腰三角形的性質就可以求出∠BAE=∠CAE，再證明△ABE≌△ACE就可以得出結論；

（2）由BF⊥AC，∠BAC=45°就可以求出AF=BF，在由條件證明△AEF≌△BCF就可以得出結論．

試題解析：（1）∵AB=AC，D是BC的中點，∴∠EAB=∠EAC，

在△ABE和△ACE中，∵AB=AC，∠EAB=∠EAC，AE=AE，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE=CE；

（2）∵BF⊥AF，∴∠AFB=∠CFB=90°．∵∠BAC=45°，∴∠ABF=45°，∴∠ABF=∠BAC，∴AF=BF．

∵AB=AC，點D是BC的中點，∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°，

∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF，

在△AEF和△BCF中，∵∠EAF=∠CBF，AF=BF，∠AFE=∠BFC=90°，∴△AEF≌△BCF（ASA），

∴EF=CF．

考點：1．全等三角形的判定與性質；2．等腰三角形的性質．