Question

已知拋物線y=-

1

2

x2+mx+n與x軸交于不同的兩點A（x₁，0），B（x₂，0），點A在點B的左邊，拋物線與y軸交于點C，若A，B兩點位于y軸異側，且tan∠CAO=tan∠BCO=

1

3

，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：根據二次函數解析式作出草圖，再根據三角形的性質可以知道各段邊長長度的比值，根據比值列出等式，求出m、n的值，確定二次函數解析式．

解答：解：∵圖象與x軸有交點，∴令y=0，
∵圖象與y軸有交點，∴令x=0，
∴y=n 即C點坐標為（0，n），
∵tan∠CAO=tan∠BCO=

1

3

，
∴

OC

AO

= 

OB

OC

= 

1

3

，
∵∠ACB=90°，CO⊥x軸，
∴OC²=AO•OB，
∵A、B兩點在y軸異側，
∴OA=3n，OB=

1

3

n，
即n²=n，∵n≠0，∴n=1，∴OC=1，
∴AO=3，B0=

1

3

∴A點坐標為（-3，0），
同理解得B點坐標為（

1

3

，0），
設y=a（x+3）（x-

1

3

）
且它過點C（0，1），
代入后解得：a=-1，
所以：y=-x²-

8

3

x-1．
答：拋物線的解析式為：y=-x²-

8

3

x-1．

點評：本題屬于綜合類問題，主要考查了二次函數解析式系數的確定，以及二次函數圖象的性質等相關知識．