Question

如圖1，在平面直角坐標系中，為坐標原點.直線與拋物線同時經過.

（1）求的值.

（2）點是二次函數圖象上一點，(點在下方)，過作 軸，與交于點，與軸交于點.求 的最大值.

（3）在（2）的條件下，是否存在點 ,使和 相似？若存在，求出 點坐標，不存在，說明理由.

Answer 1

（1）m=1，n=3；（2）4；（3）N或N.

【解析】

試題分析：（1）應用待定系數法求拋物線的解析式中的m和n的值；

（2）求出一次函數解析式，聯系點的坐標的幾何意義表示線段MN的長，根據所列關系式求最大值；

（3）分兩種情況討論，當 時，得到，計算OQ和NQ的值，得點N的坐標；當N為AB中點時，得到∽，進而得到點N的坐標.

試題解析：【解析】
（1） 拋物線 經過兩點，

∴，解得：，

所以m的值為1，n的值為3，此時二次函數的表達式為.

(2)把點A(0，3)，點B（4，0）代入y=kx+b，得：

，解得： ，

∴經過A、B兩點的一次函數的解析式為 .

，

∵0≤x≤4，∴ 當時，取得最大值為4.

(3)存在.

①當 時，（如圖1）

可證： ，，

∴，

∴ ，

∵OA=3，OB=4，

∴AB=5，

∵ON·AB=OA·OB，

∴ON=，

∴NQ=，OQ= ，

∴N ；

②當N為AB中點時，（如圖2）

，

∴∽，此時.

∴滿足條件的N或N.

考點：1、待定系數法求解析式；2、圖形與坐標；3、相似三角形的判定和性質.