Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，點A（0.4），B（4，0），C為OB的中點，連AC，OE⊥AC交AB于E，BD⊥x軸交OE的延長線于D．
（1）求證：△AOC≌△OBD；
（2）求點D的坐標；
（3）已知∠OAB=∠OBA，線段AC、CE、0E是否存在某種確定的數量關系？寫出你的結論，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）如圖，由A點和B點坐標得OA=OB=4，再利用等角的余角相等得∠1=∠2，于是可根據“ASA”判斷△AOC≌△OBD；
（2）由C為OB的中點得到OC=BC=2，再由△AOC≌△OBD得到OC=BD=2，則可寫出D點坐標；
（3）先證明∠OAB=∠OBA=∠DBE=45°，則可根據“SAS”證明△BCE≌△BDE，所以CE=DE，再由△AOC≌△OBD得到AC=OD，所以OD=OE+DE=OE+CE=AC．

解答 （1）證明：如圖，
∵A（0.4），B（4，0），
∴OA=OB=4，
∵OE⊥AC，
∴∠3+∠1=90°，
而∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
∵BD⊥x軸，
∴∠DBO=90°，
在△AOC和△OBD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AO=OB}\\{∠AOC=∠OBD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△OBD；
（2）解：∵C為OB的中點，
∴OC=BC=2，
∵△AOC≌△OBD，
∴OC=BD=2，
而BD⊥x軸，
∴D點坐標為（4，2）；
（3）解：OE+CE=AC．理由如下：
∵∠OAB=∠OBA=45°，
而∠DBO=90°，
∴∠DBE=45°，
在△BCE和△BDE
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BD}\\{∠CBE=∠DBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BDE，
∴CE=DE，
∵△AOC≌△OBD，
∴AC=OD，
而OE+DE=OD，
∴OE+CE=AC．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．