Question

【題目】如圖，現有一張邊長為8的正方形紙片，點為邊上的一點（不與點、點重合），將正方形紙片折疊，使點落在處，點落在處，交于，折痕為，連結、.

（1）求證：；

（2）求證：；

（3）當時，求的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）PH=．

【解析】

（1）根據翻折變換的性質得出∠PBC=∠BPH，進而利用平行線的性質得出∠APB=∠PBC即可得出答案；

（2）首先過B作BQ⊥PH，垂足為Q，易證得△ABP≌△QBP，進而得出△BCH≌△BQH，即可得出AP+HC=PH．

（3）首先設AE=x，則EP=8-x，由勾股定理可得：在Rt△AEP中，AE2+AP2=PE2，即可得方程：x2+22=（8-x）2，即可求得答案AE的長，易證得△DPH∽△AEP，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．

（1）證明：∵PE=BE，

∴∠EPB=∠EBP，

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．

即∠BPH=∠PBC．

又∵四邊形ABCD為正方形

∴AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）證明：過B作BQ⊥PH，垂足為Q，

由（1）知，∠APB=∠BPH，

在△ABP與△QBP中，

，

∴△ABP≌△QBP（AAS），

∴AP=QP，BA=BQ．

又∵AB=BC，

∴BC=BQ．

又∵∠C=∠BQH=90°，

∴△BCH和△BQH是直角三角形，

在Rt△BCH與Rt△BQH中，

，

∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），

∴CH=QH，

∴AP+HC=PH．

（3）解：∵AP=2，

∴PD=AD-AP=8-2=6，

設AE=x，則EP=8-x，

在Rt△AEP中，AE2+AP2=PE2，

即x2+22=（8-x）2，

解得：x=，

∵∠A=∠D=∠ABC=90°，

∴∠AEP+∠APE=90°，

由折疊的性質可得：∠EPG=∠ABC=90°，

∴∠APE+∠DPH=90°，

∴∠AEP=∠DPH，

∴△DPH∽△AEP，

∴，

∴，

解得：DH=．

∴PH=