Question

【題目】如圖，已知直線與軸、軸分別交于、兩點，是以為圓心，1為半徑的圓上一動點，連接、，當的面積最大時，點的坐標為_______．

Answer 1

【答案】(,)

【解析】

過C作CM⊥AB于M，交x軸于E，連接AC，MC的延長線交⊙C于D，作DN⊥x軸于N，則由三角形面積公式得，×AB×CM=×OA×BC，可知圓C上點到直線y=x-3的最長距離是DM，當P點在D這個位置時，△PAB的面積最大，先證得△COE∽△CMB，求得OE、CE，再通過證得△COE∽△DNE，求得DN和NE，由此求得答案．

過C作CM⊥AB于M，交x軸于E，連接AC，MC的延長線交⊙C于D，作DN⊥x軸于N，

∵直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，

令x=0，得y=-3，

令y=9，得x=4

∴A(4,0)，B(0,3)，

∴OA=4，OB=3，
∴AB=

則由三角形面積公式得，×AB×CM=×OA×BC，

∴×5×CM=×4×(1+3)，

∴CM=

∴BM=

∴圓C上點到直線的最大距離是DM=1+=

當P點在D這個位置時，△PAB的面積最大，

∵∠CMB=∠COE=90°，∠OCE=∠MCB，

∴△COE∽△CMB，

∴

∴

∴OE=，CE=，

∴ED=1+=

∵DN⊥x軸，
∴DN∥OC，
∴△COE∽△DNE，
∴，即

∴DN=，NE=

∴ON=NEOE==

∴D(,)

∴當△PAB的面積最大時，點P的坐標為(,)

故答案為：(,)