Question

如圖，在⊙O中，弦AE⊥弦 BC于D，BC=6，AD=7，∠BAC=45°．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB，OC，由于∠BAC=45°，可求得∠BOC=90°，所以三角形BOC是等腰直角三角形，已知BC的長(zhǎng)，利用勾股定理可以求出⊙O的半徑；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AE于M，ON⊥BC于N，易證四邊形OMDN是矩形，從而求出DE=1．
解答：解：連接OB、OC，
∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
在Rt△BOC中，有
OB²+OC²=BC²，
且OC=OB，
∴2OC²=BC²，
∵BC=6
∴OC=3．
即O的半徑為3．

（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AE于M，ON⊥BC于N，
可得AM=ME，ON=BC=3，
∵AE⊥BC，OM⊥AE，ON⊥BC，
∴∠ADC=∠DNO=∠OMD=90°，
∴四邊形OMDN是矩形，
∴MD=ON=3，
∴AM=AD-MD=7-3=4=ME，
∴DE=ME-MD=4-3=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理以及矩形的判定，熟記定理，根據(jù)已知和圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．解決與弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，一般要作弦的弦心距．