Question

設(shè)關(guān)于未知數(shù)x的方程x²-5x-m²+1=0的實(shí)根為α、β，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使|α|+|β|≤6成立．

Answer 1

分析：根據(jù)x的方程x²-5x-m²+1=0的實(shí)根為α、β，由根與系數(shù)的關(guān)系列出不等式即可解出m的取值范圍．

解答：解：∵△=5²+4（m²-1）=4m²+21，
∴不論m取何值，
所給的方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)根．
∵α+β=5，αβ=1-m²，|α|+|β|≤6，
∴α²+β²+2|αβ|≤36，
即（α+β）²-2αβ+2|αβ|≤36．
∴25-2（1-m²）+2|1-m²|≤36，
當(dāng)1-m²≥0時(shí)，25≤36成立，
∴-1≤m≤1．（1）
當(dāng)1-m²＜0時(shí)，
得25-4（1-m²）≤36，
∴-

15

2

≤m≤

15

2

．（2）
由（1）、（2）得-

15

2

≤m≤

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，難度較大，關(guān)鍵是正確靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系列出不等式．