Question

（本小題滿分8分）如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，連結PA，PB，PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BP=BQ，連結CQ．

(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并說明理由．

(2)若PA=3，PB=4，PC=5，連結PQ，判斷△PQC的形狀并說明理由．

 

Answer 1

（1）AP=CQ （2)直角三角形

【解析】

試題分析：（1）根據條件用“SAS”可證明△ABP≌△CBQ，從而可得AP=CQ；（2）連接PQ．可證明△PBQ為等邊三角形，得PQ=PB=4，然后根據勾股定理的逆定理可證△PQC為直角三角形，且∠PQC=90°．

試題解析：【解析】
（1）AP=CQ，理由如下：因為△ABC是等邊三角形，所以AB=BC，∠ABC=60°．因為∠PBQ=60°，所以∠ABP=∠CBQ=60°-∠PBC．在△ABP和△CBQ中，AB=CB，∠ABP=∠CBQ， BP=BQ，所以△ABP≌△CBQ，（SAS），所以AP=CQ；（2）連接PQ．因為BP=BQ，∠PBQ=60°，所以△PBQ是等邊三角形，所以 PQ=PB=4．又因為CQ=PA=3，PC=5，且，即，所以△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°．

考點：1.等邊三角形的性質；2.全等三角形的判定與性質;3.勾股定理的逆定理.