Question

（12分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，取AC的中點E，連結DE、OE．

（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）如果⊙O的半徑是1.5cm，ED=2cm，求AB的長．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）5cm.

【解析】

試題分析：（1）可證明DE是⊙O的切線，只要證得∠ODE=90°即可．

（2）先利用勾股定理求出OE的長，再利用中位線定理，可求出AB的長．

試題解析：證明：（1）連結OD．

由O、E分別是BC、AC中點得OE∥AB．

∴∠1=∠2，∠B=∠3，又OB=OD．

∴∠2=∠3．

而OD=OC，OE=OE

∴△OCE≌△ODE．

∴∠OCE=∠ODE．

又∠C=90°，故∠ODE =90°．

∴DE是⊙O的切線．

（2）在Rt△ODE中，由OD=1.5，DE=2，

得OE=2.5，

又∵O、E分別是CB、CA的中點，

∴AB=2×OE=2×2.5=5，

∴所求AB的長是5cm．

考點：1、三角形全等的判定和性質；2、切線的判定；3、三角形的中位線定理.