Question

如圖，將邊長為3cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點E、F分別在邊AB、CD上)，使點B落在AD的中點 M處，點C落在點N處，MN與CD交于點P， 連接EP．

(1) △AEM的周長=_____cm；（2）求證：EP=AE+DP；

 

Answer 1

【答案】

(1) （2）見解析

【解析】（1）設AE=xcm，則EB=ME=（3-x）cm．

又因為E為DC的中點，

所以AM=1.5cm，

在Rt△DME中，AE²+AM²=ME²，

即x²+1.5²=（3-x）²，

解得x=．

所以線段DM的長為cm

△AEM的周長=+1.5+=   

（2）證明：

分別延長EM和PD交于點H.

∵正方形ABCD ∴AB∥CD,∴∠AEM=∠H

 又∵∠AME=∠DMH，AM=DM ∴△AME≌△DMH

∴EM=HM，AE=DH. ……………………………… 5分

 在△EHP中，由折疊過程知，∠EMP=∠B=90°，∴MP⊥EH

∴PH=EP 又∵EM=HM，∴PE=PH …………………………… 7分

∵PH=DP+DH,  AE=DH.  ∴PH=AE+DP

∴EP=AE+DP.        ……………………………………8分

（其他解法參照給分）

（1）設AE=xcm,根據勾股定理求得x，即可求出△AEM的周長

（2）通過△AME≌△DMH，求得EM=HM，AE=DH，由折疊過程，求得PE=PH，從而求得結論