Question

你能比較兩個數2005²⁰⁰⁶和2006²⁰⁰⁵的大小？
（1）通過計算，比較下列各數的大小：1²______2¹；2³______3²；3⁴______4³；4⁵______5⁴；5⁶______6⁵；…
（2）從第一題的結果經過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ大小關系是______；
（3）根據上面的歸納猜想得到的結論，試比較兩數大小2005²⁰⁰⁶______2006²⁰⁰⁵．

Answer 1

解：（1）1²=1，2¹=2，1＜2，∴1²＜2¹；
2³=8，3²=9，8＜9，∴2³＜3²；
3⁴=81，4³=64，81＞64，∴3⁴＞4³；
4⁵=1024，5⁴=625，1024＞625，∴4⁵＞5⁴；
5⁶=15625，6⁵=7776，15625＞7776，∴5⁶＞6⁵；…
（2）由（1）得：n＜3且n為正整數時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；
當n≥3且n為正整數時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（3）n為2005，符合n≥3且n為正整數時的情況，
∴2005²⁰⁰⁶＞2006²⁰⁰⁵．
分析：（1）分別計算出相應的結果，進行比較即可；
（2）應分n＜3和n≥3兩種情況比較；
（3）根據（2）的結論進行比較即可．
點評：考查規律的提煉與應用，注意不同取值范圍得到的結論不同．